functional structure - a million dead-end streets

Xを位相空間とする。X上のfunctional structureとは、Xの開集合族の上で定義された関数F_Xで次を満たすもの(U,V,U_α: 開集合)：

F_X(U)はU上の実数値連続関数の環の部分環である;
U≠∅ならばF_X(U)はすべての定数関数を含む;F_X(∅)は0だけからなる多元環とする
V⊂U, f∈F_X(U) ⇒ f|_V∈F_X(V);
U=∪U_α かつ全てのαに対してf|_{U_α}∈F_X(U_α) ⇒ f∈F_X(U).

対(X,F_X)をfunctionally structured spaceという。

二つのfunctionally structured spaceの間のmorphism (X,F_X) → (Y,F_Y)とは、写像φ: X → Yであって、合成f $\mapsto$ f $\circ$ φによってF_Y(U)がF_X(&phi^-1(U))の中に写されるようなもののことである。φ^-1がmorphismとして存在しているとき、φをisomorphismという。

(Bredon: Geometry and Topology, p.69 and ホッホシルト著, 橋本浩治訳: リー群の構造, p.72)